高校入試頻出シリーズ（数学）第１回：放物線と２点で交わる直線の式【中学数学】
こんにちは
リュケイオンです
今回は数学を取り上げます。
これから何回かに渡って、高校入試に頻出のパターンを取り上げていこうと思います。
まず一発目は放物線と交わる直線の式の問題です。
問題：
下の図のように関数 y = 1 / 4 x2 のグラフと直線が、２点A、Bで交わり、
点A、点Bのx座標がそれぞれ、-4、8であるとき、この直線の式を求めなさい。
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なんだ、こんなの簡単じゃん！と思った生徒さんも、最後にあっという間に解ける方法教えますので少しお付き合いください。
まずは、オーソドックスな解き方から。
求める直線を y = a x + b としたとき、このa,bが求まればいいわけですが・・・
数学の問題を解くときの一番のコツは、最後のゴールから逆に考えていき、
そこにたどり着くにはどうしたらよいのか？を順を追って組み立てていくことです
（これを「課題解決型思考」と言い、実はプログラミング教育で養おうとしている考え方です）。
aは変化の割合で、bは切片ですが、変化の割合は２点のx,y座標が分かれば求まります。
２点のx座標と、放物線の式( yを求められる式)が分かってますから、
この式にA,Bのx座標を入れてやれば、２点のy座標が決まり、2点のx,y座標が揃うので、
変化の割合を求めるのが簡単そうだな、と算段を立てるわけです。
点Ａのy座標は y = 1 / 4 × ( -4 )2 より、4
点Ｂのy座標は y = 1 / 4 × 82 より、14
x がー４から８に増加し
y が4から１４に増加するので
あとはbが求まればいいので、 y = x + b にx,yを代入して
16 = 8 + b
b = 8
よって求める直線の式は y = x + 8
となります。
ところで、このタイプの問題、実はもっと簡単に解く方法があります。
まずはさっきと同じやり方で、
「放物線 y = a x2 と直線lが、x座標がp,q である２点で交わるとき、どうなるか」を考えてみましょう。
直線lの式を y = mx + nとおくと（aはふさがってるので）、
変化の割合は a( p + q)であることが分かりました。
よって、 直線の式は y = a( p + q )x + nとなり、
x = p のとき y = ap2 (y = ax2より)だから、それぞれ代入してやると、
これを解いて
n = -apq
となります。
a,p,qがどんな値でも成り立ちますので、
一般に、放物線 y = a x2 と直線lがx座標がp,q である２点で交わるとき、直線の式は y = a( p + q ) x - apq
ということになります。
これを覚えておけば、問題の数字をそのまま入れてしまえばあっという間です。
a ( p + q )の部分は
x座標を足してaをかける
-apqの部分は
x座標をかけてaをかけてひく
と覚えれば覚えやすいと思います！
中３生は解けて当たり前の問題・・・
であって欲しいですが、
さらに一歩進んで、時間をかけずにとくことが出来れば、
難しい問題に回す時間を増やせます。
いかがでしたか？
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